대수등차수열과 등비수열수능 기출기본 문제 (3점 중반)

함수 점화식 최소 n

문제

자연수 전체의 집합을 NN이라 할 때, 함수 f:N→Nf : N \rightarrow N가 두 조건 f(1)=1f ( 1 ) = 1, f(n)f(n+1)=5{f(n)}2+5{f(n)}−f(n+1)f ( n ) f ( n + 1 ) = 5 \left\{ f ( n ) \right\} ^{2} + 5 \left\{ f ( n ) \right\} - f ( n + 1 ) 를 만족한다. 이 때, f(n)>2000f ( n ) > 2000을 만족하는 최소의 자연수 nn의 값은? [3점] ①55②66③77④88⑤99

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②

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해설

점화식이용 f(n)f(n+1)=5{f(n)}2+5{f(n)}−f(n+1)\begin{aligned} & f ( n ) f ( n + 1 ) = 5 \left\{ f ( n ) \right\} ^{2} + 5 \left\{ f ( n ) \right\} - f ( n + 1 ) \end{aligned} ↔{f(n)+1}f(n+1)=5f(n){f(n)+1}\leftrightarrow \left\{ f ( n ) + 1 \right\} f ( n + 1 ) = 5 f ( n ) \left\{ f ( n ) + 1 \right\}∴f(1)=1,f(n+1)=5f(n)\therefore f ( 1 ) = 1 , f ( n + 1 ) = 5 f ( n ) ∴f(n)=5n−1>2000∴n≥6\therefore f ( n ) = 5 ^{n-1} > 2000 \therefore n \geq 6 ∴\therefore최솟값은 6

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#귀납적 정의#등비수열

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