대수수열의 합수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

함수 합의 최솟값

문제

자연수 nn에 대하여 fn(x)=nx+nx\displaystyle f _{n} ( x ) = nx + \frac{n}{x} (x>0)( x > 0 )이라 할 때, ∑n=120fn(x)\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{20} f _{n} ( x )의 최솟값을 구하시오. [4점]

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420

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해설

[출제의도] 여러 가지 수열의 합 문제해결하기 nx>0nx > 0, nx>0\displaystyle \frac{n}{x} > 0이므로 nx+nx≥2n2=2n\displaystyle nx + \frac{n}{x} \geq 2 \sqrt{n ^{2}} = 2 n이다. fn(x)=nx+nx\displaystyle f _{n} ( x ) = nx + \frac{n}{x}≥2n\geq 2 n (단, 등호는 x=1x = 1일 때, 성립한다.) ∑n=120fn(x)≥∑n=1202n=420\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{20} f _{n} ( x ) \geq \sum\limits _{n = 1} ^{20} 2 n = 420

태그

#산술기하평균#시그마

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