확률과 통계순열과 조합수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

함수 개수 세기

문제

세 집합 $A = \left\{ 1 , 2 , 3 , 4 \right\}$ , $B = \left\{ 5 , 6 , 7 \right\}$ , $C = \left\{ 8 , 9 \right\}$ 에 대하여 다음 조건을 만족시키는 함수 $f : A \rightarrow B$ 의 개수를 구하시오. [4점]

(가) 함수 $f$ 의 치역은 $B$ 가 아니다. (나) 어떤 함수 $g : B \rightarrow C$ 에 대하여 함수 $g \circ f$ 의 치역은 $C$ 이다.

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[출제의도] 수학내적문제 해결능력-순열과 조합 함수 $f$ 의 치역은 $B$ 가 아니면서 함수 $g \circ f$ 의 치역은 $C$ 이려면 함수 $f ( x )$ 의 치역은 원소의 개수가 2이어야 한다. 집합 $B$ 의 부분집합 중에서 원소의 개수가 2인 집합의 개수는 ${} _{3} C _{2} = 3$ 집합 $A$ 의 네 원소를 3개, 1개 또는 2개, 2개의 두 조로 나누는 경우의 수는 $\displaystyle {} _{4} C _{3} \times _{1} C _{1} + _{4} C _{2} \times _{2} C _{2} \times \frac{1}{2 !} = 4 + 3 = 7$ 두 조를 치역의 두 원소에 대응하는 경우의 수는 $2 ! = 2$ 따라서 구하는 함수 $f$ 의 개수는 $3 \times 7 \times 2 = 42$

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