함수 개수 빈칸 추론

[출제의도] 연역적 추론능력(증명)-순열과 조합 함수 $f$의 치역의 원소 중에서 가장 큰 값은 $f ( 4 )$이고, 함수 $f$의 치역의 원소의 개수가 4이므로 $f ( 4 ) \geq 4$이다. 이때 $f ( 4 ) = k ( k = 4 , 5 , 6 )$으로 놓자. (ⅰ) $f ( 6 ) < f ( 5 ) < f ( 4 )$이므로 $f ( 5 ) , f ( 6 )$의 값을 정할 때, 그 경우의 수는 $\displaystyle {} _{k - 1} C _{2} = {\square {\frac{( k - 1 ) ( k - 2 )}{2}}}$이다. (ⅱ) 함수 $f$의 치역의 원소 중 $f ( 4 ) , f ( 5 ) , f ( 6 )$이 아닌 원소를 $a$라 하면 $a < f ( 4 ) , a \ne f ( 5 ) , a \ne f ( 6 )$이므로 $a$의 값을 정할 때, 그 경우의 수는 $( k - 3 )$이다. (ⅲ) (ⅱ)의 각각의 경우에 대하여 $f ( 1 )$, $f ( 2 )$, $f ( 3 )$의 값을 정할 때, 그 경우의 수는 네수 $f ( 4 ) , f ( 5 ) , f ( 6 )$, $a$ 중 중복을 허락하여 3개를 택하는 경우의 수에서 세 수 $f ( 4 ) , f ( 5 ) , f ( 6 )$중 중복을 허락하여 3개를 택하는 경우의 수를 뺀 값과 같으므로 ${} _{4} H _{3} - _{3} H _{3} = _{6} C _{3} - _{5} C _{3} = 20 - 10 = {\square {10}}$이다. (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 구하는 함수 $f$의 개수는 $\displaystyle \sum\limits _{k = 4} ^{6} \left\{ \frac{( k - 1 ) ( k - 2 )}{2} \times ( k - 3 ) \times 10 \right\}$ $\displaystyle = 5 \sum\limits _{k = 4} ^{6} \left\{ ( k - 1 ) ( k - 2 ) ( k - 3 ) \right\}$ $= 5 ( 3 \times 2 \times 1 + 4 \times 3 \times 2 + 5 \times 4 \times 3 )$ $= 5 \times 90 = {\square {450}}$ 따라서 $\displaystyle h ( k ) = \frac{( k - 1 ) ( k - 2 )}{2}$, $p = 10$, $q = 450$ 이므로 $\displaystyle h ( p - 5 ) + q = h ( 5 ) + 450 = \frac{4 \times 3}{2} + 450 = 456$