미적분Ⅰ부정적분과 정적분수능 기출기본 문제 (3점 중반)

함수·도함수·적분 그래프

문제

아래 그림은 실수 전체의 집합에서 정의된 세 함수 $f ( x )$ , $f' ( x )$ , $\displaystyle \int _{0} ^{x} {f ( t ) dt}$ 의 그래프의 일부이다. 각 그래프와 함수가 바르게 대응된 것은? [3점]

$a$ $b$ $c$ ① $f ( x )$ $f' ( x )$ $\displaystyle \int _{0} ^{x} {f ( t ) dt}$ ② $f' ( x )$ $f ( x )$ $\displaystyle \int _{0} ^{x} {f ( t ) dt}$ ③ $f' ( x )$ $\displaystyle \int _{0} ^{x} {f ( t ) dt}$ $f ( x )$ ④ $\displaystyle \int _{0} ^{x} {f ( t ) dt}$ $f' ( x )$ $f ( x )$ ⑤ $\displaystyle \int _{0} ^{x} {f ( t ) dt}$ $f ( x )$ $f' ( x )$

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②

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해설

$\displaystyle \mathrm{F} ( x ) = \int _{0} ^{x} f ( t ) dt$ 라 두면 $\mathrm{F}' ( x ) = f ( x )$ 이므로 $\displaystyle \int _{0} ^{x} f ( t ) dt$ 의 도함수가 $f ( x )$ 이고 $f ( x )$ 의 도함수가 $f' ( x )$ 이다. 위쪽 그래프에서 $a$ 의 그래프는 도함수(즉, 접선의 기울기)가 음이므로 함수 $f ( x )$ 나 함수 $\displaystyle \int _{0} ^{x} f ( t ) dt$ 이 될 수가 없다. ( $\because \text{함수} b , c$ 가 모두 양이므로) 따라서, $a$ 의 그래프는 $f' ( x )$ 이다. 또, $a$ 의 그래프는 감소하므로 $b$ 와 $c$ 의 그래프의 도함수(즉, 접선의 기울기) 중 감수하는 것은 $b$ 의 그래프이므로 $b$ 의 그래프가 $f ( x )$ 이고 $c$ 의 그래프가 $\displaystyle \int _{0} ^{x} f ( t ) dt$ 이다.

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