공통수학1행렬과 그 연산수능 기출기본 문제 (3점 중반)

함수 대응과 행렬 거듭제곱

문제

집합 $X = \left\{ 1 , 2 \right\}$ 에서 $X$ 로의 함수 $f$ 의 대응관계가 그림과 같을 때, 이차정사각행렬 $A$ 의 $\left( i , j \right)$ 성분 $a _{i j}$ 를 $\displaystyle a _{ij} = \begin{cases} 0 f ( i ) \neq j \text{일} \text{때} \\ 1 f ( i ) = j \text{일} \text{때} \end{cases}$ 로 정의한다. 행렬 $A ^{2006}$ 과 같은 것은? (단, $E$ 는 단위행렬 이다.) [3점]

① $A - E$ ② $A$ ③ $E$ ④ $A + E$ ⑤ $2 A$

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③

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해설

$f ( 1 ) = 2 , f ( 2 ) = 1$ 이므로 $a _{12} = a _{21} = 1 , a _{11} = a _{22} = 0$ 따라서 $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ , $\displaystyle A ^{2} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = E$ $\therefore A ^{2006} = ( A ^{2} ) ^{1003} = E ^{1003} = E$

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