할선과 접선 기울기 보기

[출제의도] 도함수를 이용하여 추론하기 ㄱ. $f ( x ) = x ^{3} - 11 x ^{2} + 24 x + 36$에서 $f' ( x ) = 3 x ^{2} - 22 x + 24$이므로 $f' ( 0 ) = 24$ (참) ㄴ. 두 점 $( 0 , 0 )$, $( 6 , f ( 6 ) )$을 지나는 직선의 기울기는 $\displaystyle \frac{f ( 6 )}{6} = 0$ $\displaystyle f' ( k ) = \frac{f ( 6 )}{6} = 0$에서 $3 k ^{2} - 22 k + 24 = 0$, $( 3 k - 4 ) ( k - 6 ) = 0$ $\displaystyle k = \frac{4}{3}$ 또는 $k = 6$ $\displaystyle \frac{4}{3}$와 $\mathrm{6}$ 중 작은 값이 $\displaystyle \frac{4}{3}$이므로 $\displaystyle g ( 6 ) = \frac{4}{3}$ (참) ㄷ. 함수 $f ( x )$의 증가와 감소를 표로 나타내면

양의 실수 $t$에 대하여 두 점 $( 0 , 0 )$, $( t , f ( t ) )$를 지나는 직선의 기울기 $\displaystyle \frac{f ( t )}{t}$는 $t = 6$에서 최솟값 $\mathrm{0}$을 갖는다. 또한 함수 $\displaystyle \frac{f ( t )}{t}$는 양의 실수 전체의 집합에서 연속이고, $\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow 0 +} {} \frac{f \left( t \right)}{t} = \infty$이므로 $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} \frac{f \left( t \right)}{t} \left| \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} t > 0 \end{array} \right\} = \left\{ \begin{array}{l} y \begin{matrix} \\ \end{matrix} \end{array} \right| y \geq 0 \end{array} \right\}$이다. 한편 $f' ( 0 ) = 24$이므로 $\displaystyle \frac{f ( t )}{t} \geq 24$이면 $\displaystyle f' ( k ) = \frac{f ( t )}{t}$를 만족시키는 양의 실수 $k$의 개수는 $\mathrm{1}$이고, $\displaystyle 0 \leq \frac{f ( t )}{t} < 24$이면 $\displaystyle f' ( k ) = \frac{f ( t )}{t}$를 만족시키는 양의 실수 $k$의 개수는 $\mathrm{2}$이다. $\displaystyle \frac{f ( t )}{t} = 24$에서 $t ^{3} - 11 t ^{2} + 36 = 0$ $( t - 2 ) \left( t ^{2} - 9 t - 18 \right) = 0$ $t > 0$이므로 $t = 2$ 또는 $\displaystyle t = \frac{9 + 3 \sqrt{17}}{2}$ 이제 $\displaystyle \alpha = \frac{9 + 3 \sqrt{17}}{2}$이라 하자. $f' ( x ) = 24$에서 $3 x ^{2} - 22 x + 24 = 24$, $\displaystyle 3 x \left( x - \frac{22}{3} \right) = 0$ $x = 0$ 또는 $\displaystyle x = \frac{22}{3}$ 함수 $y = f ( x )$의 그래프는 그림과 같다

(ⅰ) $0 < t \leq 2$ 또는 $t \geq \alpha$일 때 $\displaystyle \frac{f ( t )}{t} \geq 24$이므로 $\displaystyle f' ( k ) = \frac{f ( t )}{t}$를 만족시키는 양의 실수 $k$는 오직 $\mathrm{1}$개 존재한다. 그 $k$의 값을 $k _{1}$이라 하면 $g ( t ) = k _{1}$이며 $\displaystyle k _{1} \geq \frac{22}{3}$이다. 그러므로 $\left\{ g ( t ) | 0 < t \leq 2 \right.$ 또는 $\displaystyle \left. t \geq \alpha \right\} \subset \left\{ \begin{array}{l} k \left. \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} \end{array} \right| k \geq \frac{22}{3} \end{array} \right\}$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ 또한 $\displaystyle k \geq \frac{22}{3}$인 실수 $k$에 대하여 $f' ( k ) \geq 24$이며 $\displaystyle f' ( k ) = \frac{f ( t )}{t}$인 두 양의 실수 $t _{1}$, $t _{2} \left( 0 < t _{1} \leq 2 , t _{2} \geq \alpha \right)$가 존재한다. 이때 $\displaystyle \frac{f \left( t _{1} \right)}{t _{1}} = f' ( x )$를 만족시키는 양의 실수 $x$의 값은 $k$뿐이므로 $g \left( t _{1} \right) = k$ 그러므로 $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} k \left. \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} \end{array} \right| k \geq \frac{22}{3} \end{array} \right\}$$\subset \left\{ g ( t ) | 0 < t \leq 2 \right.$ 또는 $t \geq \alpha \}$ $\cdots$$\cdots$ ㉡ ㉠, ㉡에 의하여 $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} k \left. \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} \end{array} \right| k \geq \frac{22}{3} \end{array} \right\}$$= \left\{ g ( t ) | 0 < t \leq 2 \right.$ 또는 $t \geq \alpha \}$ (ⅱ) $2 < t < 6$ 또는 $6 < t < \alpha$일 때 $\displaystyle 0 < \frac{f ( t )}{t} < 24$이므로 $\displaystyle f' ( k ) = \frac{f ( t )}{t}$를 만족시키는 양의 실수 $k$가 $\mathrm{2}$개 존재한다. 그 $k$의 값을 $k _{2}$, $k _{3} \left( k _{2} < k _{3} \right)$이라 하면 $g ( t ) = k _{2}$이며 $\displaystyle 0 < k _{2} < \frac{4}{3}$이다. 그러므로 $\left\{ g ( t ) | 2 < t < 6 \right.$ 또는 $6 < t < \alpha \}$ $\displaystyle \subset \left\{ \begin{array}{l} k \begin{matrix} \\ \end{matrix} \end{array} \right| 0 < k < \frac{4}{3} \}$ $\cdots \cdots$ ㉢ 또한 $\displaystyle 0 < k < \frac{4}{3}$인 실수 $k$에 대하여 $0 < f' ( k ) < 24$이며 $\displaystyle f' ( k ) = \frac{f ( t )}{t}$인 두 양의 실수 $t _{3}$, $t _{4} \left( 2 < t _{3} < 6 < t _{4} < \alpha \right)$가 존재한다. 이때 $\displaystyle \frac{f \left( t _{3} \right)}{t _{3}} = f' ( x )$를 만족시키는 양의 실수 $x$의 값은 $\mathrm{2}$개이고, 그 중 $k$가 아닌 값을 $s$라 하면 $\displaystyle 6 < s < \frac{22}{3}$이므로 $g \left( t _{3} \right) = k$ 그러므로 $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} k \left| \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} 0 < k < \frac{4}{3} \end{array} \right\} \end{array} \right.$$\subset \left\{ g \left( t \right) | 2 < t < 6 \right.$ 또는 $\left. 6 < t < \alpha \right\}$ $\cdots \cdots$ ㉣ ㉢, ㉣에 의하여 $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} k \left| \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} 0 < k < \frac{4}{3} \end{array} \right\} \end{array} \right.$$= \left\{ g ( t ) | 2 < t < 6 \right.$ 또는 $6 < t < \alpha \}$ (ⅲ) $t = 6$일 때 ㄴ에 의하여 $\displaystyle g ( 6 ) = \frac{4}{3}$이므로 $\displaystyle \left\{ \frac{4}{3} \right\} = \left\{ g ( t ) | t = 6 \right\}$ (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 함수 $g ( t )$의 치역은 $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} k \begin{matrix} \\ \end{matrix} \end{array} \right| 0 < k \leq \frac{4}{3}$ 또는 $\displaystyle k \geq \frac{22}{3} \}$ 그러므로 함수 $g ( t )$의 치역의 원소가 아닌 모든 자연수의 합은 $2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 27$ (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ