공통수학1행렬과 그 연산수능 기출기본 문제 (3점 중반)

행렬의 거듭제곱

문제

행렬 $\displaystyle A = \begin{pmatrix} {- 2} & {1} \\ {- 3} & {1} \end{pmatrix}$ 일 때, $A ^{2004}$ 은? [3점] ① $\displaystyle \begin{pmatrix} {0} & {0} \\ {0} & {0} \end{pmatrix}$ ② $\displaystyle \begin{pmatrix} {1} & {0} \\ {0} & {1} \end{pmatrix}$ ③ $\displaystyle \begin{pmatrix} {0} & {1} \\ {1} & {0} \end{pmatrix}$ ④ $\displaystyle \begin{pmatrix} {2} & {1} \\ {3} & {1} \end{pmatrix}$ ⑤ $\displaystyle \begin{pmatrix} {1} & {1} \\ {3} & {2} \end{pmatrix}$

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②

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[출제의도] 행렬의 거듭제곱의 뜻을 알고 계산하기 $\displaystyle A = \begin{pmatrix} {- 2} & {1} \\ {- 3} & {1} \end{pmatrix}$ 에서 $\displaystyle A ^{2} = \begin{pmatrix} {1} & {- 1} \\ {3} & {- 2} \end{pmatrix}$ $A ^{3} = E$ 이므로 $A ^{2004} = ( A ^{3} ) ^{668} = E$ <별해> 케일리-해밀턴의 정리를 이용하면 $A ^{2} - ( - 2 + 1 ) A + \{ - 2 \times 1 - 1 \times ( - 3 ) \} E = 0$ $A ^{2} + A + E = 0$ , $( A - E ) ( A ^{2} + A + E ) = A ^{3} - E = 0$ $\therefore A ^{3} = E$

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