공통수학1행렬과 그 연산수능 기출기본 문제 (3점 중반)

행렬과 유리함수 역함수

문제

다음은 ‘행렬 A=(abcd)\displaystyle A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}를 유리함수 f(x)=ax+bcx+d\displaystyle f ( x ) = \frac{a x + b}{c x + d}에 대응시킬 때, AA의 역행렬이 존재하면 함수 f(x)f ( x )의 역함수도 존재한다.’ 는 사실을 증명한 것이다. [증명] A=(abcd)\displaystyle A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}에 대하여 AA의 역행렬이 존재할 때, A−1=1ad−bc(d−b−ca)\displaystyle A ^{- 1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & - b \\ - c & a \end{pmatrix} 이므로, A−1A ^{- 1}에 대응하는 유리함수를 g(x)g ( x )라 하면, g(x)=g ( x ) =(가)

이 때, f(g(x))=a(□(가))+bc(□(가))+d=\displaystyle f ( g ( x ) ) = \frac{a ( {\square {( \text{가} )}} ) + b _{}}{c ( {\square {( \text{가} )}} ) + d ^{}} =(나)

또한, g(f(x))=g ( f ( x ) ) =(나) 이므로, g(x)g ( x )는 f(x)f ( x )의 역함수이다. 따라서, AA의 역행렬이 존재하면 f(x)f ( x )의 역함수도 존재한다.

위의 증명에서 (가), (나)에 알맞은 것은? [3점] (가) (나) ①dx−b−cx+a\displaystyle \frac{d x - b}{- c x + a} xx②dx−b−cx+a\displaystyle \frac{d x - b}{- c x + a} 11③dx−b−cx+a\displaystyle \frac{d x - b}{- c x + a} −x- x④dx−bcx+a\displaystyle \frac{d x - b}{c x + a} xx⑤dx−bcx+a\displaystyle \frac{d x - b}{c x + a} 11

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①

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해설

[출제의도] 행렬과 역행렬의 관계를 이용하여 완성형의 증명을 할 수 있다. A−1=1ad−bc(d−b−ca)\displaystyle A ^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & - b \\ - c & a \end{pmatrix}에 대응하는 유리함수를 g(x)g ( x )라 하면 g(x)=1ad−bc(dx−b)1ad−bc(−cx+a)=dx−b−cx+a\displaystyle g ( x ) = \frac{\frac{1}{ad - bc} \left( dx - b \right)}{\frac{1}{ad - bc} \left( - cx + a \right)} = \frac{dx - b}{- cx + a} f(g(x))=a(dx−b−cx+a)+bc(dx−b−cx+a)+d\displaystyle f ( g ( x ) ) = \frac{a \left( \frac{dx - b}{{- cx + a} _{}} \right) + b}{c \left( \frac{{dx - b} ^{}}{- cx + a} \right) + d}=(ad−bc)xad−bc=x\displaystyle = \frac{( ad - bc ) x}{ad - bc} = x 또한, g(f(x))=xg ( f ( x ) ) = x이므로 g(x)g ( x )는 함수f(x)f ( x )의 역함수이다.

태그

#역행렬#유리함수

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