공통수학1행렬과 그 연산수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

행렬과 사각형 넓이

문제

그림과 같이 양수 $a , b$ 에 대하여 좌표평면 위의 두 점 $\mathrm{A} \mathit{(} a , a ) , \mathrm{B} \mathit{(} b , 0 )$ 을 각각 $x$ 축 방향으로 $a$ 만큼 평행이동한 점을 $\mathrm{A}' , B'$ 라 하자. 점 $\mathrm{A} , A' , B , B'$ 의 $x$ 좌표들을 성분으로 하는 행렬 $M$ 을 $\displaystyle M = \begin{pmatrix} a & 2 a \\ b & a + b \end{pmatrix}$ 라 하고, 이 네 점을 이어서 만든 사각형의 넓이를 $S ( M )$ 이라 할 때, <보기>에서 항상 옳은 것을 모두 고른 것은? [4점]

		<보 기>

	ㄱ. $\displaystyle M = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ 이면 $S ( M ) = 1$ 이다. ㄴ. 양수 $k$ 에 대하여 $S ( kM ) = kS ( M )$ ㄷ. 행렬 $M$ 의 역행렬이 존재하지 않으면 사각형은 정사각형이다.

①ㄱ②ㄱ, ㄴ③ㄱ, ㄷ④ㄴ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

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③

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해설

[출제의도] 행렬을 이용한 수학 내적문제 추론하기 ㄱ. $a = 1 , b = 3$ 이므로 $\mathrm{A} ( 1 , 1 ) , A' ( 2 , 1 ) , B ( 3 , 0 ) , B' ( 4 , 0 )$ 이다. $\therefore S ( M ) = 1$ (참) ㄴ. $\displaystyle kM = \begin{pmatrix} ka & 2 ka \\ kb & k ( a + b ) \end{pmatrix}$ 이므로 $S ( kM ) = ( ka ) ^{2} = k ^{2} a ^{2}$ $kS ( M ) = ka ^{2}$ $\therefore S ( kM ) \ne kS ( M )$ (거짓) ㄷ. 역행렬이 존재하지 않으므로 $a ( a + b ) - 2 ab = 0$ $a ( a - b ) = 0$ , $a$ 는 양수이므로 $a = b$ 이고, 이때의 사각형은 정사각형이다. (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

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