행렬 연립방정식 k

[출제의도] 행렬의 성질을 이용하여 연립방정식의 해를 추론한다. $\mathrm{A} \left( \alpha , \beta \right)$가 제$1$사분면의 점이므로 $\alpha > 0$, $\beta > 0$ 조건에 의해 $\displaystyle {\begin{pmatrix} - 3 - k & 1 \\ 5 & 1 - k \end{pmatrix}} {\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}}$$\displaystyle = {\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}}$은 $x$$= y$$= 0$이외의 해 $x$$= \alpha$, $y$$= \beta$를 가진다. 그러므로 $\displaystyle {\begin{pmatrix} - 3 - k & 1 \\ 5 & 1 - k \end{pmatrix}}$의 역행렬이 존재하지 않는다. $( - 3 - k ) ( 1 - k ) - 5$$= k ^{2} + 2 k - 8$$= ( k - 2 ) ( k + 4 )$$= 0$ $k$$= - 4$ 또는 $k$$= 2$ ⅰ) $k$$= - 4$인 경우 연립방정식 $\displaystyle {\begin{pmatrix} - 3 - k & 1 \\ 5 & 1 - k \end{pmatrix}} {\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}}$$\displaystyle = {\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}}$은 $x + y$$= 0$과 같다. 그런데 $\alpha$, $\beta$는 모두 양의 실수이므로 $x$$= \alpha$, $y$$= \beta$는 $x + y$$= 0$을 만족시키지 않는다. ⅱ) $k$$= 2$인 경우 연립방정식 $\displaystyle {\begin{pmatrix} - 3 - k & 1 \\ 5 & 1 - k \end{pmatrix}} {\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}}$$\displaystyle = {\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}}$은 $- 5 x + y$$= 0$과 같다. $\alpha$, $\beta$는 모두 양의 실수이므로 $x$$= \alpha$, $y$$= \beta$는 $- 5 x + y$$= 0$을 만족시킨다. 따라서 $k$$= 2$