행렬 성분 합 최솟값

$AB = CA$의 양변의 오른쪽에 $A ^{-1}$를 곱하면 $C$$= ABA ^{-1}$$\displaystyle = \begin{pmatrix} {1} & {0} \\ {0} & {2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} {1} & {a} \\ {b} & {1} \end{pmatrix} \frac{1}{2} \begin{pmatrix} {2} & {0} \\ {0} & {1} \end{pmatrix}$$\displaystyle = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} {1} & {a} \\ {2 b} & {2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} {2} & {0} \\ {0} & {1} \end{pmatrix}$$\displaystyle = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} {2} & {a} \\ {4 b} & {2} \end{pmatrix}$ 행렬 $C$의 모든 성분의 합은 $\displaystyle 2 + \frac{1}{2} a + 2 b$이다. $a$와 $b$가 모두 양수이므로 산술평균, 기하평균 사이의 관계에 의해 $\displaystyle 2 + \frac{1}{2} a + 2 b \geq 2 + 2 \sqrt{\frac{1}{2} a \cdot 2 b} = 6$ 따라서, $a = 4$, $b = 1$일 때 최솟값 6을 갖는다.