공통수학1행렬과 그 연산수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

행렬 세제곱 조건

문제

이차정사각행렬 $A$ 는 다음 두 조건을 만족시킨다.

(가) $A ^{3} + E = O$ (나) $\displaystyle A \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} + A ^{-1} \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$\displaystyle A \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ 일 때, $a + b$ 의 값은? (단, $O$ 는 영행렬이고 $E$ 는 단위행렬이다.) [4점] ① $1$ ② $2$ ③ $3$ ④ $4$ ⑤ $5$

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②

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해설

$\displaystyle A \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} + A ^{-1} \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ 의 양변에 $A ^{2}$ 을 곱하면 $\displaystyle A ^{2} A \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} + A ^{2} A ^{-1} \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix} = A ^{2} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ $\displaystyle A ^{3} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} + A \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ ∴ $\displaystyle A \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix} = - A ^{3} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ $\displaystyle = E \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ ( $\because A ^{3} + E = O$ ) $\displaystyle = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ ∴ $a = 1 , b = 1$ ∴ $a + b = 2$

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