행렬 조건과 이차함수 최솟값

[출제의도] 행렬의 연산과 이차함수의 최솟값을 이용하여 행렬을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다. $A ^{2} = 2 aA$ $\displaystyle \begin{pmatrix} a & b \\ b & c \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ b & c \end{pmatrix} = 2 a \begin{pmatrix} a & b \\ b & c \end{pmatrix}$ $\displaystyle \begin{pmatrix} a ^{2} + b ^{2} & ab + bc \\ ab + bc & b ^{2} + c ^{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 a ^{2} & 2 ab \\ 2 ab & 2 ac \end{pmatrix}$ $a ^{2} + b ^{2} = 2 a ^{2} , ab + bc = 2 ab$ $a ^{2} = b ^{2} , bc = ab$ $a , b , c$가 양수이므로 $a = b = c$이다. $f ( x ) = ax ^{2} + ax + a$$\displaystyle = a \left( x + \frac{1}{2} \right) ^{2} + \frac{3}{4} a$ 최솟값이 $3$이므로 $a = 4$이다. $\therefore a + b + c = 12$