공통수학1행렬과 그 연산수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

행렬 조건과 거듭제곱

문제

두 이차정사각행렬 AA, BB 가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) A(E+B)=EA ( E + B ) = E (나) AB−BA=A+BAB - BA = A + B

다음 중 행렬 (AB)20( A B ) ^{20}과 항상 같은 것은? (단, EE는 단위행렬이다.) [4점] ①−E- E②20E20 E③−A- A④AA⑤20A20 A

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③

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해설

[출제의도] 역행렬의 성질을 활용할 수 있는가를 묻는 문제이다. A(E+B)=EA ( E + B ) = E 에서 A−1=A ^{-1} =E+BE + B이므로 A(E+B)=(E+B)A=EA ( E + B ) = ( E + B ) A = E A+AB=A+BAA + AB = A + BA ∴\therefore AB=BAAB = BA 이때, AB−BA=O=A+BAB - BA = O = A + B이므로 B=−AB = - A A(E+B)=EA ( E + B ) = E에 B=−AB = - A를 대입하면 A(E−A)=EA ( E - A ) = E, A2−A+E=OA ^{2} - A + E = O 위 등식의 양변에 A+EA + E를 곱하면 (A+E)(A2−A+E)=A3+E=O( A + E ) ( A ^{2} - A + E ) = A ^{3} + E = O ∴ A3=−EA ^{3} = - E ∴ (AB)20=(−A2)20=A40( AB ) ^{20} = ( - A ^{2} ) ^{20} = A ^{40} =(A3)13A=(−E)13A=−A= ( A ^{3} ) ^{13} A = ( - E ) ^{13} A = - A

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#행렬#거듭제곱

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