행렬 조건과 A^3

[출제의도] 행렬과 역행렬의 관계를 이해하여 문제 해결하기 $A - E = \left( \genfrac{}{}{0pt}{}{a - 1}{c} \genfrac{}{}{0pt}{}{b}{d - 1} \right)$이 역행렬을 갖지 않으므로 $( a - 1 ) ( d - 1 ) - bc = 0$ $ad - bc = a + d - 1 \cdots \text{㉠}$ $\left( \genfrac{}{}{0pt}{}{a}{d} \genfrac{}{}{0pt}{}{- 1}{1} \right)$이 역행렬을 갖지 않으므로 $a + d = 0 \cdots \text{㉡}$ ㉠과 ㉡에서 $ad - bc = - 1$…㉢ ㉡, ㉢에서 $a ^{2} + bc = 1$, $ab + bd = 0$ $ac + cd = 0$, $bc + d ^{2} = 1$ $A = \left( \genfrac{}{}{0pt}{}{a}{c} \genfrac{}{}{0pt}{}{b}{d} \right)$에서 $A ^{2} = \left( \genfrac{}{}{0pt}{}{a}{c} \genfrac{}{}{0pt}{}{b}{d} \right) \left( \genfrac{}{}{0pt}{}{a}{c} \genfrac{}{}{0pt}{}{b}{d} \right)$$= \left( \genfrac{}{}{0pt}{}{a ^{2} + bc}{ac + cd} \genfrac{}{}{0pt}{}{ab + bd}{bc + d ^{2}} \right)$$= \left( \genfrac{}{}{0pt}{}{1}{0} \genfrac{}{}{0pt}{}{0}{1} \right) = E$ 따라서 $A ^{3} = A$ (별해) 케일리-해밀턴의 정리에 의하여 $A ^{2} - ( a + d ) A + ( ad - bc ) E = 0$ $A ^{2} - E = 0$ $A ^{2} = E$ ∴$A ^{3} = A$