행렬 증명 빈칸

$\displaystyle B = A - \frac{p + q}{2} E$, $\displaystyle k = \left[ \frac{p - q}{2} \right]$라 하면 $B - kE = A - p E$이고 $B + kE = A - qE$이므로 $B - kE$와 $B + kE$는 모두 역행렬을 갖지 않는다. 따라서 $\displaystyle B = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$라 하면 $B - kE$$\displaystyle = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} - k \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$\displaystyle = \begin{pmatrix} a - k & b \\ c & d - k \end{pmatrix}$ 는 역행렬을 갖지 않으므로 $( a - k ) ( d - k ) - bc = ad - k ( a + d ) + k ^{2} - bc$$= 0$ $k \ne 0$이므로 $a + d = [ 0 ]$, $ad - bc = - k ^{2}$이다. 그런데 $\displaystyle B ^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & - b \\ - c & a \end{pmatrix}$ $\displaystyle = \frac{1}{k ^{2}} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$($\because$$a + d = 0$,$ad - bc = - k ^{2}$) $\displaystyle = \frac{1}{k ^{2}} [ B ]$ 이므로 $A ^{2} - ( p + q ) A + pq E = ( A - pE ) ( A - qE )$$= O$ 가 성립한다.