공통수학1행렬과 그 연산수능 기출기본 문제 (3점 중반)

행렬 제곱의 역행렬

문제

이차방정식 x2−6x+2=0x ^{2} - 6 x + 2 = 0의 두 실근 α,β\alpha , \beta에 대하여 행렬 AA를 A=(α11β)\displaystyle A = \begin{pmatrix} \alpha & 1 \\ 1 & \beta \end{pmatrix}라 할 때, 행렬 A2A ^{2}의 역행렬 (A2)−1( A ^{2} ) ^{- 1}의 모든 성분의 합을 구하시오. [3점]

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해설

이차방정식 x2−6x+2=0x ^{2} - 6 x + 2 = 0의 두 실근을 α,β\alpha , \beta라 하면, α+β=6,αβ=2\alpha + \beta = 6 , \alpha \beta = 2 A=(α11β)\displaystyle A = \begin{pmatrix} \alpha & 1 \\ 1 & \beta \end{pmatrix}의 역행렬은 A−1=1αβ−1(β−1−1α)=(β−1−1α)\displaystyle A ^{- 1} = \frac{1}{\alpha \beta - 1} \begin{pmatrix} \beta & - 1 \\ - 1 & \alpha \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \beta & - 1 \\ - 1 & \alpha \end{pmatrix}이므로 (A2)−1=(A−1)2=(β−1−1α)(β−1−1α)=(β2+1−β−α−β−αα2+1)\displaystyle ( A ^{2} ) ^{- 1} = ( A ^{- 1} ) ^{2} = \begin{pmatrix} \beta & - 1 \\ - 1 & \alpha \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \beta & - 1 \\ - 1 & \alpha \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \beta ^{2} + 1 & - \beta - \alpha \\ - \beta - \alpha & \alpha ^{2} + 1 \end{pmatrix} 따라서 행렬 (A2)−1( A ^{2} ) ^{- 1}의 모든 성분의 합은 α2+β2−2(α+β)+2=(α+β)2−2αβ−2(α+β)+2\alpha ^{2} + \beta ^{2} - 2 ( \alpha + \beta ) + 2 = ( \alpha + \beta ) ^{2} - 2 \alpha \beta - 2 ( \alpha + \beta ) + 2 =62−2⋅2−2⋅6+2=22= 6 ^{2} - 2 \cdot 2 - 2 \cdot 6 + 2 = 22

태그

#역행렬#근과 계수의 관계

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