행렬 제곱 대각합

이차방정식 $x ^{2} - 7 x - 1 = 0$의 두 근이 $\alpha , \beta$이므로 근과 계수의 관계에 의해 $\alpha + \beta = 7 , \alpha \beta = - 1$$\cdots \cdots$㉠ 한편, $\displaystyle A ^{2} = \begin{pmatrix} {\alpha} & {1} \\ {1} & {\beta} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} {\alpha} & {1} \\ {1} & {\beta} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {\alpha ^{2} + 1} & {\alpha + \beta} \\ {\alpha + \beta} & {1 + \beta ^{2}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {a} & {b} \\ {c} & {d} \end{pmatrix}$ 이므로 $a = \alpha ^{2} + 1 , d = 1 + \beta ^{2}$ $\therefore a + d = \alpha ^{2} + 1 + 1 + \beta ^{2} = ( \alpha + \beta ) ^{2} - 2 \alpha \beta + 2$ $= 7 ^{2} - 2 \cdot ( - 1 ) + 2 ( \because \text{㉠} )$ $= 53$