공통수학1행렬과 그 연산수능 기출기본 문제 (3점 중반)

행렬 일차결합과 수열 합

문제

두 행렬 $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ , $\displaystyle B = \begin{pmatrix} - 3 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ 에 대하여 두 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$ , $\left\{ b _{n} \right\}$ 이 $\displaystyle a _{n} A + b _{n} B = {\begin{pmatrix} 6 n - 3 \cdot 2 _{{} _{}} ^{n} & 12 n + 3 \cdot 2 _{{} _{}} ^{n} \\ 3 n + 2 ^{n} {}^{{} ^{}} & 2 ^{n + 1} {}^{{} ^{}} \end{pmatrix}}$ $( n = 1 , 2 , 3 , \cdots )$ 을 만족시킬 때, $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{10} a _{k}$ 의 값을 구하시오. [3점]

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165

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해설

$\displaystyle a _{n} A + b _{n} B = {\begin{pmatrix} 2 a _{n} & 4 a _{n} \\ a _{n} & 0 \end{pmatrix}} + {\begin{pmatrix} - 3 b _{n} & 3 b _{n} \\ b _{n} & 2 b _{n} \end{pmatrix}} = \begin{pmatrix} 6 n - 3 \cdot 2 ^{n} & 12 n + 3 \cdot 2 ^{n} \\ 3 n + 2 ^{n} & 2 ^{n+1} \end{pmatrix}$ 이므로 $2 b _{n} = 2 ^{n+1} \rightarrow b _{n} = 2 ^{n}$ , $a _{n} + b _{n} = 3 n + 2 ^{n} \rightarrow a _{n} = 3 n$ 이다. $\displaystyle \therefore \sum\limits _{k=1} ^{10} a _{k} = \sum\limits _{k=1} ^{10} 3 k = 3 \cdot \frac{10 \cdot 11}{2} = 165$

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