공통수학1행렬과 그 연산수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

행렬 이차식과 벡터

문제

이차정사각행렬 AA에 대하여 A2−5A+6E=O,A(2−3)=(111)\displaystyle A ^{2} - 5 A + 6 E = O , A \begin{pmatrix} {2} \\ {- 3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {11} \\ {1} \end{pmatrix} 이 성립할 때, A(−22−2)+A(20−30)\displaystyle A \begin{pmatrix} {- 22} \\ {- 2} \end{pmatrix} + A \begin{pmatrix} {20} \\ {- 30} \end{pmatrix}는? (단, EE는 단위행렬이고, OO는 영행렬이다.) [4점] ①(−24−36)\displaystyle \begin{pmatrix} {- 24} \\ {- 36} \end{pmatrix}②(2436)\displaystyle \begin{pmatrix} {24} \\ {36} \end{pmatrix}③(24−36)\displaystyle \begin{pmatrix} {24} \\ {- 36} \end{pmatrix}④(−3624)\displaystyle \begin{pmatrix} {- 36} \\ {24} \end{pmatrix}⑤(36−24)\displaystyle \begin{pmatrix} {36} \\ {- 24} \end{pmatrix}

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③

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해설

A(−22−2)+A(20−30)=−2A(111)+10A(2−3)\displaystyle A \begin{pmatrix} {- 22} \\ {- 2} \end{pmatrix} + A \begin{pmatrix} {20} \\ {- 30} \end{pmatrix} = - 2 A \begin{pmatrix} {11} \\ {1} \end{pmatrix} + 10 A \begin{pmatrix} {2} \\ {- 3} \end{pmatrix} =−2A2(23)+10A(23)=(−2A2+10A)(23)\displaystyle = - 2 A ^{2} \begin{pmatrix} {2} \\ {3} \end{pmatrix} + 10 A \begin{pmatrix} {2} \\ {3} \end{pmatrix} = ( - 2 A ^{2} + 10 A ) \begin{pmatrix} {2} \\ {3} \end{pmatrix} =12E(23)\displaystyle = 12 E \begin{pmatrix} {2} \\ {3} \end{pmatrix}=(24−36)\displaystyle = \begin{pmatrix} {24} \\ {- 36} \end{pmatrix} [∵\because−2A2+10A=−2(A2−5A)=−2(−6E)- 2 A ^{2} + 10 A = - 2 ( A ^{2} - 5 A ) = - 2 ( - 6 E )]

태그

#행렬#케일리-해밀턴

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