행렬 곱의 집합 빈칸

두 행렬 $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$, $\displaystyle B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$을 중복을 허락하여 곱해서 얻어지는 행렬의 집합을 $S$라 하자. 다음은 $S$의 원소를 구하는 과정이다.

$A ^{2} = A$, $B ^{2} = B$이므로 $S$의 원소는 $A$, $B$, $( AB ) ^{n}$, $( BA ) ^{n}$, $( AB ) ^{n} A$, $( BA ) ^{n} B$의 형태이다. 한편, $\displaystyle AB = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$이므로 $\displaystyle ( AB ) ^{n} = \begin{pmatrix} {2 ^{n-1}} & {2 ^{n-1}} \\ {2 ^{n-1}} & {2 ^{n-1}} \end{pmatrix}$ $\displaystyle BA = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$이므로 $( BA ) ^{n} =$ (가) 따라서 $\displaystyle ( AB ) ^{n} A = \begin{pmatrix} {2 ^{n-1}} & {2 ^{n-1}} \\ {2 ^{n-1}} & {2 ^{n-1}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} =$ (나) $( BA ) ^{n} B =$ (가) $\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} =$ (다) 그러므로 $S$의 원소는 $A$, $B$, $\displaystyle 2 ^{n-1} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$, (가), (나), (다) 의 형태이다. (단, $n = 1 , 2 , 3 , \cdots$)

위의 과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [3점] (가) (나) (다) ①$\displaystyle \begin{pmatrix} 2 ^{n} & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ $2 ^{n} A$ $2 ^{n} B$②$\displaystyle \begin{pmatrix} 2 ^{n} & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ $2 ^{n} A$ $2 ^{n} AB$③$\displaystyle \begin{pmatrix} 2 ^{n} & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ $2 ^{n} AB$ $2 ^{n} B$④$\displaystyle \begin{pmatrix} 2 ^{n} & 0 \\ 2 ^{n} & 0 \end{pmatrix}$ $2 ^{n} B$ $2 ^{n} A$⑤$\displaystyle \begin{pmatrix} 2 ^{n} & 0 \\ 2 ^{n} & 0 \end{pmatrix}$ $2 ^{n} A$ $2 ^{n} B$