행렬 곱의 부호 조건

$\displaystyle {\begin{pmatrix} x & & y \end{pmatrix}} {\begin{pmatrix} a & & b \\ b & & a \end{pmatrix}} {\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}}$$\displaystyle = \begin{pmatrix} a x + by b x + a y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ $= ( ax + by ) x + ( bx + ay ) y$$= a x ^{2} + 2 b x y + a y ^{2}$ $a x ^{2} + 2 b x y + a y ^{2} \geq 0$이 모든 실수 $x$에 대하여 성립하므로 $\displaystyle \frac{D}{4} = b ^{2} y ^{2} - a ^{2} y ^{2} \leq 0$ $\therefore ( b ^{2} - a ^{2} ) y ^{2} \leq 0$ 이것이 모든 실수 $y$에 대하여 성립할 조건은 $y ^{2} \geq 0$이므로 $b ^{2} - a ^{2} \leq 0$ $\rightarrow b ^{2} \leq a ^{2}$ $\therefore a ^{2} + ( b - 2 ) ^{2} \geq b ^{2} + ( b - 2 ) ^{2}$$= 2 ( b - 1 ) ^{2} + 2 \geq 2$ 따라서, $a ^{2} + ( b - 2 ) ^{2}$의 최솟값은 $2$이다.