공통수학1행렬과 그 연산수능 기출기본 문제 (3점 중반)

행렬 곱 수열의 주기

문제

두 이차정사각행렬 An=(abcd)\displaystyle A \mathit{_{n}} = {\begin{pmatrix} a _{} & b _{} \\ c ^{} & d ^{} \end{pmatrix}}, B=(01−10)\displaystyle B = {\begin{pmatrix} 0 _{} & 1 _{} \\ - 1 ^{} & 0 ^{} \end{pmatrix}}에 대하여 An+1=AnBA \mathit{\mathrm{_{n + 1}}} = A _{\mathit{n}} B (n=1n = 1, 22, 33, ⋯\cdots) 으로 정의하자. 행렬 A1=(1234)\displaystyle A _{1} = {\begin{pmatrix} 1 _{} & 2 _{} \\ 3 ^{} & 4 ^{} \end{pmatrix}}일 때, 행렬 A100A _{100}의 (1( 1, 1)1 )성분과 (2( 2, 2)2 )성분의 합은? [3점] ①−5- 5②−3- 3③−1- 1④11⑤33

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③

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해설

[출제의도] 행렬의 곱셈을 이용하여 규칙성 추론하기 A2=(1234)(01−10)=(−21−43)\displaystyle A _{2} = {\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}} {\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{pmatrix}} = {\begin{pmatrix} - 2 & 1 \\ - 4 & 3 \end{pmatrix}} A3=(−21−43)(01−10)=(−1−2−3−4)\displaystyle A _{3} = {\begin{pmatrix} - 2 & 1 \\ - 4 & 3 \end{pmatrix}} {\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{pmatrix}} = {\begin{pmatrix} - 1 & - 2 \\ - 3 & - 4 \end{pmatrix}} A4=(−1−2−3−4)(01−10)=(2−14−3)\displaystyle A _{4} = {\begin{pmatrix} - 1 & - 2 \\ - 3 & - 4 \end{pmatrix}} {\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{pmatrix}} = {\begin{pmatrix} 2 & - 1 \\ 4 & - 3 \end{pmatrix}} A5=(2−14−3)(01−10)=(1234)=A1\displaystyle A _{5} = {\begin{pmatrix} 2 & - 1 \\ 4 & - 3 \end{pmatrix}} {\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{pmatrix}} = {\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}} = A _{1}이므로 A100=A4=(2−14−3)\displaystyle A _{100} = A _{4} = {\begin{pmatrix} 2 & - 1 \\ 4 & - 3 \end{pmatrix}}이다. A100A _{100}의 (1( 1, 1)1 )성분과 (2( 2, 2)2 )성분의 합은 −1- 1이다.

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#행렬 거듭제곱#주기

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