공통수학1행렬과 그 연산수능 기출기본 문제 (3점 중반)행렬 거듭제곱의 역행렬광고 영역 (상세 상단)문제행렬 A=(1−13−2)\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & - 1 \\ 3 & - 2 \end{pmatrix}A=(13−1−2)에 대하여 집합 XXX를 X={An∣n은자연수}X = \left\{ A ^{n} | n \text{은} \text{자연수} \right\}X={An∣n은자연수}라 하자. 집합 XXX의 두 원소 P,QP , QP,Q가 다음 두 조건을 만족시킬 때, QQQ의 모든 성분의 합은? [3점] (가) PPP의 모든 성분의 합은 −3- 3−3이다. (나) PQ=EPQ = EPQ=E (단, EEE는 단위행렬이다.)①−3- 3−3②−2- 2−2③222④111⑤333정답 보기④자료 내려받기아직 올라온 파일이 없습니다.해설a+d=−1,ad−bc=1a + d = - 1 , ad - bc = 1a+d=−1,ad−bc=1이므로 케일리-해밀턴의 정리를 쓰면 A2+A+E=O→A3=E⋯A ^{2} + A + E = O \rightarrow A ^{3} = E \cdotsA2+A+E=O→A3=E⋯① 이다. 그러므로 AkA ^{k}Ak는 주기가 3이므로 집합 XXX의 원소는 A,A2,A3=EA , A ^{2} , A ^{3} = EA,A2,A3=E의 3종류만 있게 된다. 여기서 각각의 행렬을 구해보면 A=(1−13−2)\displaystyle {A = \begin{pmatrix} 1 & - 1 \\ 3 & - 2 \end{pmatrix}}A=(13−1−2), A2=−A−E=−(1−13−2)−(1001)=(−21−31)\displaystyle A ^{2} = - A - E = - {\begin{pmatrix} 1 & - 1 \\ 3 & - 2 \end{pmatrix}} - {\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}} = \begin{pmatrix} - 2 & 1 \\ - 3 & 1 \end{pmatrix}A2=−A−E=−(13−1−2)−(1001)=(−2−311)이다. 그러므로 성분의 합이 −3- 3−3이 되는 행렬은 A2A ^{2}A2행렬이고, ①식에 의해 Q=AQ = AQ=A이다. ∴Q\therefore Q∴Q의 성분의합===111태그#행렬#케일리-해밀턴#역행렬비슷한 문제 더 보기공통수학1 문제 모음공통수학1 행렬과 그 연산 문제 모음수능 문제 모음기본 문제 모음광고 영역 (해설 하단)← 전체 문제 목록으로