공통수학1행렬과 그 연산수능 기출기본 문제 (3점 중반)

행렬 거듭제곱의 합

문제

이차정사각행렬 A,BA , B가 A+B=−E,AB=EA + B = - E , AB = E를 만족시킬 때, (A+B)+(A2+B2)+⋯+(A2011+B2011)( A + B ) + ( A ^{2} + B ^{2} ) + \cdots + ( A ^{2011} + B ^{2011} )을 간단히 한 것은? (단, EE는 단위행렬이다.) [3점] ①−2E- 2 E②−E- E③EE④2E2 E⑤3E3 E

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②

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해설

[출제의도] 행렬의 곱셈의 성질 이해하기 A+B=−E,AB=EA + B = - E , AB = E이므로, A(−E−A)=EA ( - E - A ) = E, ∴\thereforeA2+A+E=OA ^{2} + A + E = O 같은 방법으로 B2+B+E=OB ^{2} + B + E = O 한편, A3=A2A=(−A−E)A=−A2−A=EA ^{3} = A ^{2} A = ( - A - E ) A = - A ^{2} - A = E 같은 방법으로 B3=EB ^{3} = E (A+B)+(A2+B2)+⋯+(A2011+B2011)( A + B ) + ( A ^{2} + B ^{2} ) + \cdots + ( A ^{2011} + B ^{2011} ) =(A+A2+A3+⋯+A2011)= ( A + A ^{2} + A ^{3} + \cdots + A ^{2011} )+(B+B2+B3+⋯+B2011)+ ( B + B ^{2} + B ^{3} + \cdots + B ^{2011} ) =A+B=−E= A + B = - E

태그

#행렬의 거듭제곱#케일리-해밀턴

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