공통수학1행렬과 그 연산수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

행렬 거듭제곱의 합

문제

행렬 A=(1−201)\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & - 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}에 대하여 행렬 BnB _{n}을 다음과 같이 정의한다. Bn=An+(A−1)nB _{n} = A ^{n} + ( A ^{- 1} ) ^{n} (n=1,2,3,⋯n = 1 , 2 , 3 , \cdots) 이때, 행렬 B1+B2+B3+⋯+B100B _{1} + B _{2} + B _{3} + \cdots + B _{100}의 모든 성분의 합을 구하시오. [4점]

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400

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해설

An=(1−2n01)\displaystyle A ^{n} = \begin{pmatrix} 1 & - 2 n \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, (A−1)n=(An)−1=(12n01)\displaystyle ( A ^{-1} ) ^{n} = ( A ^{n} ) ^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 2 n \\ 0 & 1 \end{pmatrix}이므로 Bn=(2002)\displaystyle B ^{n} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} 따라서 모든 성분의 합은 4×100=4004 \times 100 = 400이다.

태그

#행렬#거듭제곱#역행렬

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