공통수학1행렬과 그 연산수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

행렬 거듭제곱과 수열

문제

두 수열 {an},{bn}\left\{ a _{n} \right\} , \left\{ b _{n} \right\}이 (anbn01)=(3201)n\displaystyle \begin{pmatrix} a _{n} & b _{n} \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = {\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}} ^{n}을 만족시킬 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [3점] [보 기] ㄱ. a2+b2=17a _{2} + b _{2} = 17 ㄴ. bn=3n−1b _{n} = 3 ^{n} - 1 ㄷ. lim⁡n→∞bnan=3\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{b _{n}}{a _{n}} = 3}

①ㄱ②ㄷ③ㄱ, ㄴ④ㄴ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

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③

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해설

[출제의도] 여러 가지 수열의 문제해결하기 ㄱ. a2=9,b2=8a _{2} = 9 , b _{2} = 8이므로 a2+b2=17a _{2} + b _{2} = 17이다. (참) ㄴ. (an+1bn+101)=(3201)n+1=(anbn01)(3201)\displaystyle \begin{pmatrix} a _{n+1} & b _{n+1} \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = {\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}} ^{n+1} = \begin{pmatrix} a _{n} & b _{n} \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} =(3an2an+bn01)\displaystyle = \begin{pmatrix} 3 a _{n} & 2 a _{n} + b _{n} \\ 0 & 1 \end{pmatrix}에서 an+1=3ana _{n+1} = 3 a _{n}이고 a1=3a _{1} = 3이므로 an=3na _{n} = 3 ^{n}이다. 이 때, bn+1=bn+2⋅3nb _{n+1} = b _{n} + 2 \cdot 3 ^{n}이므로 bn=b1+2∑k=1n−13k=2+3(3n−1−1)=3n−1\displaystyle b _{n} = b _{1} + 2 \sum\limits _{k = 1} ^{n - 1} 3 ^{k} = 2 + 3 ( 3 ^{n-1} - 1 ) = 3 ^{n} - 1 (참) ㄷ. lim⁡n→∞bnan=lim⁡n→∞3n−13n=1\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{b _{n}}{a _{n}}} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{3 ^{n} - 1}{3 ^{n}}} = 1 (거짓)

태그

#행렬의 거듭제곱#수열#보기 판단

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