공통수학1행렬과 그 연산수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

행렬 거듭제곱 성분 합

문제

행렬 A=3(21−3−1)\displaystyle A = 3 \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ - 3 & - 1 \end{pmatrix}에 대하여 행렬 AnA ^{n}의 모든 성분의 합을 SnS _{n}이라 하자. 이때, Sn=3n+1S _{n} = 3 ^{n+1}을 만족시키는 100100 이하의 모든 자연수 nn의 값의 합을 구하시오. [4점]

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800800

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해설

[출제의도] 행렬의 거듭제곱과 수열의 합을 추론할 수 있는지 묻는 문제이다. P=(21−3−1)\displaystyle P = {\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ - 3 & - 1 \end{pmatrix}}이라 하면 AnA ^{n}==(3P)n=3nPn( 3 P ) ^{n} = 3 ^{n} P ^{n}이다. 행렬 PnP ^{n}의 모든 성분의 합을 TnT _{n}이라 하면 행렬 AnA ^{n}의 모든 성분의 합은 Sn=3nTnS _{n} = 3 ^{n} T _{n}이므로 Sn=3n+1S _{n} = 3 ^{n+1}이 성립하려면 Tn=3T _{n} = 3이어야 한다. T1=−1T _{1} = - 1, T2=−3T _{2} = - 3, T3=−2T _{3} = - 2, T4=1T _{4} = 1, T5=3T _{5} = 3, T6=2T _{6} = 2, T7=−1T _{7} = - 1, ⋯\cdots 이므로 n=6k−1n = 6 k - 1(k( k는 자연수))일 때 Tn=3T _{n} = 3이다. 따라서 구하는 100100 이하의 모든 자연수의 합은 첫째항이 55이고 제1616항이 9595인 등차수열의 첫째항부터 제1616항까지의 합이므로 16(5+95)2=800\displaystyle \frac{16 ( 5 + 95 )}{2} = 800이다.

태그

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