행렬 거듭제곱 성분 합

$\displaystyle A = \begin{pmatrix} a & & b \\ c & & d \end{pmatrix}$라 하면 $\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & & 2 \\ 2 & & 1 \end{pmatrix} A = \begin{pmatrix} 1 & & 2 \\ 2 & & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & & b \\ c & & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a + 2 c & & b + 2 d \\ 2 a + c & & 2 b + d \end{pmatrix}$ 모든 성분의 합이 27이므로 $3 ( a + b + c + d ) = 27$이다. 또, $A + B = 2 E$이므로 $B = 2 E - A$를 $AB = E$에 대입하면 $AB = A ( 2 E - A ) = 2 A - A ^{2} = E$ $A ^{2} = 2 A - E$ 양변에 $A$를 곱하면 $A ^{3} = 2 A ^{2} - A = 2 ( 2 A - E ) - A$ $\displaystyle = 3 A - 2 E = 3 \begin{pmatrix} a & & b \\ c & & d \end{pmatrix} - 2 \begin{pmatrix} 1 & & 0 \\ 0 & & 1 \end{pmatrix}$$\displaystyle = \begin{pmatrix} 3 a - 2 & & 3 b \\ 3 c & & 3 d - 2 \end{pmatrix}$ 따라서, 모든 성분의 합은 $3 ( a + b + c + d ) - 4 = 23$