행렬 거듭제곱 성분 합

$\displaystyle A ^{n} = \begin{pmatrix} a _{n} & b _{n} \\ c _{n} & d _{n} \end{pmatrix}$이라 두면 $\displaystyle A ^{n+1} = A ^{n} \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$, $\displaystyle \begin{pmatrix} a _{n+1} & b _{n+1} \\ c _{n+1} & d _{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 a _{n} + b _{n} & 3 b _{n} + a _{n} \\ 3 c _{n} + d _{n} & 3 d _{n} + c _{n} \end{pmatrix}$이 성립한다. 이 때, $a _{n+1} + b _{n+1} = 4 ( a _{n} + b _{n} )$이므로 $a _{n} + b _{n}$은 초항$= a _{1} + b _{1} = 4$이고 공비가 4인 등비수열이다. 마찬가지로, $c _{n} + d _{n}$역시 초항$=$공비$=$4인 등비수열이다. $\therefore S _{n} = a _{n} + b _{n} + c _{n} + d _{n} = 4 ^{n} + 4 ^{n} = 2 ^{2n+1}$이므로 $\therefore \log _{2} S _{n}$ $= 2 n + 1$ $\therefore$구하는값 $=$ $2 \cdot 50 + 1$ $= 101$