행렬 거듭제곱 성분

[출제의도] 행렬의 거듭제곱의 규칙성을 발견할 수 있는가를 묻는 문제이다. $\displaystyle A ^{2} = \begin{pmatrix} m ^{2} & 0 \\ m ^{2} - 5 ^{2} & 5 ^{2} \end{pmatrix}$ $\displaystyle A ^{3} = \begin{pmatrix} m ^{3} & 0 \\ m ^{3} - 5 ^{3} & 5 ^{3} \end{pmatrix}$ $\vdots$ 이므로 $\displaystyle A ^{n} = \begin{pmatrix} m ^{n} & 0 \\ m ^{n} - 5 ^{n} & 5 ^{n} \end{pmatrix}$임을 추론할 수 있다. 따라서 $A ^{n}$의 모든 성분의 합은 $2 m ^{n}$$= 2 ^{49}$이다. ∴ $m ^{n} = 2 ^{48}$ 이때, $m$, $n$은 자연수이므로 $n$은 $48$$= 2 ^{4} \times 3$의 약수이다. 따라서 구하는 순서쌍 $( m , n )$의 개수는 $( 4 + 1 ) ( 1 + 1 ) = 10$이다.