행렬 거듭제곱 표현

다음은 자연수 $n$에 대하여 $A ^{n + 2} - 3 A ^{n + 1} + 2 A ^{n} = O$을 만족하고 역행렬이 존재하며 단위행렬의 실수배가 아닌 이차정사각행렬 $A$에 대하여 $A ^{m}$을 $A$와 $E$로 나타내는 과정이다. (단, $m \geq 2$인 자연수이고, $E$는 단위행렬, $O$는 영행렬이다.)

$A ^{n + 2} - 3 A ^{n + 1} + 2 A ^{n} = O$에서 $A ^{n + 2} - A ^{n + 1} = 2 \left( A ^{n + 1} - A ^{n} \right)$이므로 $A ^{n + 1} - A ^{n} =$ ${\square {( \text{가} )}}$$( A - E )$ … ㉠ 이 때, ㉠의 $n$대신에 $1 , 2 , 3 , \cdots , m - 1$을 차례대로 대입하면 $A ^{2} - A = 2 ( A - E )$ $A ^{3} - A ^{2} = 2 ^{2} ( A - E )$ ⋮ $A ^{m} - A ^{m - 1} = 2 ^{m - 1} ( A - E )$ 이다. 위 식들의 좌변과 우변을 변변 더하면 $A ^{m} - A = \left( {\square {( \text{나} )}} \right)$$( A - E )$ 따라서 $A ^{m} = \left( {\square {( \text{다} )}} \right)$$A$-$\left( {\square {( \text{나} )}} \right) E$

위의 과정에서 (가) ～ (다)를 바르게 짝지은 것은? [4점] (가) (나) (다) ①$2 ^{n - 1}$ $2 ^{m} - 1$ $2 ^{m}$②$2 ^{n - 1}$ $2 ^{m} - 2$ $2 ^{m} - 1$③$2 ^{n}$ $2 ^{m} + 1$ $2 ^{m} + 2$④$2 ^{n}$ $2 ^{m} - 2$ $2 ^{m} - 1$⑤$2 ^{n}$ $2 ^{m} - 2$ $2 ^{m}$