공통수학1행렬과 그 연산수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

행렬 거듭제곱 나머지

문제

행렬 $\displaystyle N = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ - 1 & 0 \end{pmatrix}$ 과 단위행렬 $E$ 에 대하여 $N ^{2} - 3 N + 2 E = O$ 이 성립한다. 행렬 $N ^{2005} + N - 2 E$ 는? (단, $O$ 는 영행렬이다.) [4점] ① $\displaystyle \begin{pmatrix} 2 ^{2005} & 2 ^{2005} \\ 2 ^{2005} & 2 ^{2005} \end{pmatrix}$ ② $\displaystyle \begin{pmatrix} 2 ^{2005} & 2 ^{2005} \\ 2 ^{2006} & 2 ^{2006} \end{pmatrix}$ ③ $\displaystyle \begin{pmatrix} 2 ^{2006} & 2 ^{2006} \\ - 2 ^{2005} & - 2 ^{2005} \end{pmatrix}$ ④ $\displaystyle \begin{pmatrix} 2 ^{2006} & 2 ^{2006} \\ 2 ^{2005} & 2 ^{2005} \end{pmatrix}$ ⑤ $\displaystyle \begin{pmatrix} 2 ^{2005} & 2 ^{2005} \\ - 2 ^{2006} & - 2 ^{2006} \end{pmatrix}$

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③

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해설

$\mathrm{N} ^{2005} + \mathrm{N} - 2 \mathrm{E}$ 을 $\mathrm{N} ^{2} - 3 \mathrm{N} + 2 \mathrm{E}$ 로 나눈 나머지는 $\begin{aligned} x ^{2005} + x - 2 & = ( x ^{2} - 3 x + 2 ) \mathrm{Q} ( x ) + ax + b \end{aligned}$ $= ( x - 1 ) ( x - 2 ) \mathrm{Q} ( x ) + ax + b$ ⅰ) $x = 1$ 을 대입하면 $a + b = 0 \cdots \cdots \text{①}$ ⅱ) $x = 2$ 을 대입하면 $2 a + b = 2 ^{2005} \cdots \cdots \text{ ②}$ ①, ②에서 $a = 2 ^{2005} , b = - 2 ^{2005}$ 이므로 나머지는 $2 ^{2005} ( x - 1 )$ 이므로 즉, $2 ^{2005} ( \mathrm{N} - \mathrm{E} )$ 이다. $\begin{aligned} \therefore \mathrm{N} ^{2005} + \mathrm{N} - 2 \mathrm{E} & = ( \mathrm{N} ^{2} - 3 \mathrm{N} + 2 \mathrm{E} ) \mathrm{M} + 2 ^{2005} ( \mathrm{N} - \mathrm{E} ) \end{aligned}$ $= 2 ^{2005} ( \mathrm{N} - \mathrm{E} )$ $\displaystyle = 2 ^{2005} {\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ - 1 & - 1 \end{pmatrix}} = {\begin{pmatrix} 2 ^{2006} & 2 ^{2006} \\ - 2 ^{2005} & - 2 ^{2005} \end{pmatrix}}$

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