공통수학1행렬과 그 연산수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

행렬 거듭제곱 주기

문제

행렬 $\displaystyle A = \left( \begin{array}{ll} \begin{matrix} 0 & 1 \\ - 1 & 1 \end{matrix} \end{array} \right)$ 에 대하여 자연수 $m$ , $n$ 은 다음 조건을 만족시킨다.‘나’형

(가) $A ^{m} = A ^{n}$ (나) $m$ , $n$ 은 $100$ 이하의 서로 다른 자연수이다.

$| m - n |$ 의 최댓값을 $p$ , 최솟값을 $q$ 라 할 때, $p + q$ 의 값을 구하시오. [4점]

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102

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해설

행렬 $\displaystyle A = \left( \begin{array}{ll} \begin{matrix} 0 & 1 \\ - 1 & 1 \end{matrix} \end{array} \right)$ 에서 $A ^{3} = - E$ 이므로 $A ^{6} = E$ 이다. 따라서 다음 등식이 성립한다. $A = A ^{7} = A ^{13} = \cdots = A ^{97}$ $A ^{2} = A ^{8} = A ^{14} = \cdots = A ^{98}$ $A ^{3} = A ^{9} = A ^{15} = \cdots = A ^{99}$ $A ^{4} = A ^{10} = A ^{16} = \cdots = A ^{100}$ $A ^{5} = A ^{11} = A ^{17} = \cdots = A ^{95}$ $A ^{6} = A ^{12} = A ^{18} = \cdots = A ^{96}$ 즉, $A ^{m} = A ^{n}$ 이 성립하려면 $| m - n |$ 의 값이 $6$ 의 배수가 되어야 한다. 따라서 $| m - n |$ 의 최댓값은 $96$ , 최솟값은 $6$ 이다. ∴ $p + q = 96 + 6 = 102$

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