공통수학1행렬과 그 연산수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

행렬 거듭제곱 주기

문제

이차정사각행렬 MM에 대하여 d(M)d ( M )을 Mn=EM ^{n} = E인 자연수 nn이 존재하면 nn의 최솟값, Mn=EM ^{n} = E인 자연수 nn이 존재하지 않으면 00 이라 하자. 예를 들어 P=(100−1)\displaystyle P = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{pmatrix}이면 P2=EP ^{2} = E이므로 d(P)=2d ( P ) = 2, Q=(1000)\displaystyle Q = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}이면 Qn=EQ ^{n} = E인 자연수 nn이 존재하지 않으므로 d(Q)=0d ( Q ) = 0이다. 이때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? (단, AA, BB는 이차정사각행렬이고，EE는 단위행렬이다.) [4점]

< 보 기 >
ㄱ. A=(−11−10)\displaystyle A = \begin{pmatrix} - 1 & 1 \\ - 1 & 0 \end{pmatrix}이면 d(A)=3d ( A ) = 3이다. ㄴ. AA의 역행렬이 존재하면 d(A)≠0d ( A ) \neq 0이다. ㄷ. AB=BAAB = BA이고 d(A)=2,d(B)=3d ( A ) = 2 , d ( B ) = 3이면 d(AB)=6d ( AB ) = 6이다.

①ㄱ②ㄱ, ㄴ③ㄱ, ㄷ④ㄴ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

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③

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해설

ㄱ. A3=EA ^{3} = E ∴ d(A)=3d ( A ) = 3 (참) ㄴ. (반례) A=(1101)\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}일 때 An=(1n01)\displaystyle A ^{n} = \begin{pmatrix} 1 & n \\ 0 & 1 \end{pmatrix}이므로 An≠EA ^{n} \ne E ∴\therefored(A)=0d ( A ) = 0(거짓) ㄷ. AB=BAAB = BA이므로 (AB)6=A6B6=E( AB ) ^{6} = A ^{6} B ^{6} = E이고, (AB)n≠E(n=1,2,3,4,5)( A B ) ^{n} \ne E ( n = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 )이다. ∴ d(AB)=6d ( AB ) = 6 (참)

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