공통수학1행렬과 그 연산수능 기출기본 문제 (3점 중반)

행렬 거듭제곱 주기

문제

행렬 A=(11−10)\displaystyle A = \left( \begin{array}{ll} \begin{matrix} 1 & 1 \\ - 1 & 0 \end{matrix} \end{array} \right)에 대하여 (An)2=E( A ^{n} ) ^{2} = E를 만족시키는 100100 이하의 자연수 nn의 개수를 구하시오. (단, EE는 단위행렬이다.) [3점]

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3333

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해설

[출제의도] 행렬의 거듭제곱을 계산할 수 있는가를 묻는 문제이다. A2=(01−1−1)\displaystyle A ^{2} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ - 1 & - 1 \end{pmatrix}이므로 A3=−EA ^{3} = - E이다. ∴ A6=EA ^{6} = E 그런데 (An)2=( A ^{n} ) ^{2} =A2n=EA ^{2n} = E이므로 nn은 33의 배수이어야 한다. 따라서 구하는 100100 이하의 자연수 nn은 3333개다.

태그

#행렬거듭제곱#주기

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