공통수학1행렬과 그 연산수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

행렬 거듭제곱 합

문제

이차정사각행렬 A=(23−1−1)\displaystyle A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ - 1 & - 1 \end{pmatrix}에 대하여 다음 중 행렬 A+A2+A3+⋯+A365A ^{} + A ^{2} + A ^{3} + \cdots + A ^{365}과 같은 것은? (단, EE는 단위행렬이다.) [4점] ①EE②−E- E③AA④A−EA - E⑤A+EA + E

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②

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해설

[출제의도] 행렬의 거듭제곱을 이용하여 식을 간단히 할 수 있는가를 묻는 문제이다. A2=(23−1−1)(23−1−1)=(13−1−2)\displaystyle A ^{2} = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ - 1 & - 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ - 1 & - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ - 1 & - 2 \end{pmatrix} A3=AA2=(23−1−1)(13−1−2)\displaystyle A ^{3} = A A ^{2} = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ - 1 & - 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ - 1 & - 2 \end{pmatrix}=(−100−1)=−E\displaystyle = \begin{pmatrix} - 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{pmatrix} = - E 이므로 A4=−A,A5=−A2,A6=EA ^{4} = - A , A ^{5} = - A ^{2} , A ^{6} = E ∴ A+A2+A3+A4+A5+A6=OA + A ^{2} + A ^{3} + A ^{4} + A ^{5} + A ^{6} = O 또한, A6n+1=A,A6n+2=A2,A6n+3=−EA ^{6 n + 1} = A , A ^{6 n + 2} = A ^{2} , A ^{6n+3} = - E A6n+4=−A,A6n+5=−A2,A6n+6=EA ^{6 n + 4} = - A , A ^{6 n + 5} = - A ^{2} , A ^{6n+6} = E (n=0,1,2,⋯ )( n = 0 , 1 , 2 , \cdots ) 이다. 그런데 365365를 66으로 나눈 나머지가 55이므로 (주어진 식)=A+A2+A3+A4+A5= A + A ^{2} + A ^{3} + A ^{4} + A ^{5}=−A6= - A ^{6}=−E= - E

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