행렬 거듭제곱 합

[출제의도] 행렬의 거듭제곱 추론하기 $A + B = E$에서 $A = E - B$이다. $\left( E - A \right) \left( E - B \right) = E$에 $E - B = A$를 대입하여 정리하면 $\left( E - A \right) \left( E - B \right) = \left( E - A \right) A = - A ^{2} + A = E$ 이다. 정리하면 $A ^{2} - A + E = O$이고 양변에 행렬 $A + E$를 곱하면 $\left( A + E \right) \left( A ^{2} - A + E \right) = O$ 이다. 따라서 $A ^{3} + E = O$ 이고 $A ^{3} = - E$이다. 같은 방법으로 $\left( E - A \right) \left( E - B \right) = E$에 $B = E - A$을 대입하여 정리하면 $B ^{3} = - E$ 이다. 따라서 $A ^{6} + B ^{6} = ( A ^{3} ) ^{2} + ( B ^{3} ) ^{2} = E + E = 2 E$이다. 그러므로 $A ^{6} + B ^{6}$의 모든 성분의 합은 $4$이다. [다른풀이] 조건을 이용하여 행렬의 거듭제곱을 추론한다. $\left( E - A \right) \left( E - B \right) = E - \left( A + B \right) + AB = E$이므로 $A + B = AB = E$이고 $AB = BA$ 이다. 또한 $A ^{2} + B ^{2} = \left( A + B \right) ^{2} - 2 AB = E - 2 E = - E$ $A ^{4} + B ^{4} = \left( A ^{2} + B ^{2} \right) ^{2} - 2 A ^{2} B ^{2} = E - 2 E = - E$ 이므로 $\begin{aligned} A ^{6} + B ^{6} & = ( A ^{4} + B ^{4} ) ( A ^{2} + B ^{2} ) - A ^{2} B ^{2} \left( A ^{2} + B ^{2} \right) \\ & \\ & = ( - E ) ^{2} - E ( - E ) = 2 E \end{aligned}$ 이다. 그러므로 모든 성분의 합은 $4$이다.