공통수학1행렬과 그 연산수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

행렬 거듭제곱 빈칸

문제

이차정사각행렬 $A$ 가 등식 $A ^{2} - 2 A + E = O$ 를 만족시킨다. 다음은 $n$ 이 $2$ 이상의 자연수일 때, 행렬 $A ^{n}$ 을 구하는 과정이다. (단, $E$ 는 단위행렬이고, $O$ 는 영행렬이다.)

$A ^{2} - 2 A + E = O$ 에서 $A ^{2} - A = A - E$ $A ^{3} - A ^{2} = A ( A ^{2} - A )$ $= A ( A - E )$ $= A ^{2} - A$ $= A - E$ $A ^{4} - A ^{3} = A ( A ^{3} - A ^{2} )$ $= A ( A - E )$ $= A ^{2} - A$ $= A - E$ $\vdots$ $A ^{n} - A ^{n - 1} = A - E$ 위 등식들을 변끼리 더하면 $A ^{n} - A = {\square {( \text{가} )}} ( A - E )$ ∴ $A ^{n} = \square {( \text{나} )} A - \square {( \text{가} )} E$

위의 과정에서 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 $f ( n )$ , $g ( n )$ 이라 할 때, $f ( 100 ) + g ( 100 )$ 의 값은? [4점] ① $191$ ② $193$ ③ $195$ ④ $197$ ⑤ $199$

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⑤

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해설

[출제의도] 행렬의 거듭제곱을 구하는 과정을 추론한다. $A ^{2} - 2 A + E = O$ 에서 $A ^{2} - A = A - E$ $A ^{3} - A ^{2} = A ( A ^{2} - A )$ $= A ( A - E )$ $= A ^{2} - A$ $= A - E$ $A ^{4} - A ^{3} = A ( A ^{3} - A ^{2} )$ $= A ( A - E )$ $= A ^{2} - A$ $= A - E$ $\vdots$ $A ^{n} - A ^{n - 1} = A - E$ 위 등식들을 변끼리 더하면 $( A ^{n} - A ^{n-1} ) + ( A ^{n-1} - A ^{n-2} ) + \cdots + ( A ^{3} - A ^{2} ) + ( A ^{2} - A )$ $= ( A - E ) + ( A - E ) + \cdots + ( A - E ) + ( A - E )$ 이 식을 정리하면 $A ^{n} - A = \square {( n - 1 ) ^{}} ( A - E )$ ∴ $A ^{n} = \square {n ^{}} A - \square {( n - 1 ) ^{}} E$ 따라서 $f ( n ) = n - 1$ , $g ( n ) = n$ 이므로 $f ( 100 ) + g ( 100 ) = 99 + 100 = 199$ [참고] $A ^{2} - 2 A + E = O$ 에서 $A ^{2} - A = A - E$ 이므로 $A ^{n} - A ^{n-1} = A ^{n-2} ( A ^{2} - A )$ $= A ^{n-2} ( A - E )$ $= A ^{n-3} ( A ^{2} - A )$ $= A ^{n-3} ( A - E )$ $\vdots$ $= A ( A ^{2} - A )$ $= A ( A - E )$ $= A ^{2} - A$ $= A - E$

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