행렬 거듭제곱 방정식

[출제의도] 행렬의 거듭제곱을 추측하여 조건에 맞는 값을 구한다. $\displaystyle A = {\begin{pmatrix} - 2 & 3 \\ - 1 & 2 \end{pmatrix}}$에서 $\displaystyle A ^{2} = {\begin{pmatrix} - 2 & 3 \\ - 1 & 2 \end{pmatrix}} {\begin{pmatrix} - 2 & 3 \\ - 1 & 2 \end{pmatrix}}$$\displaystyle = {\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}}$$= E$이므로 $A ^{2012} = ( A ^{2} ) ^{1006} = E ^{1006} = E$ 따라서 $\displaystyle A ^{2012} {\begin{pmatrix} p \\ q \end{pmatrix}} =$$\displaystyle E {\begin{pmatrix} p \\ q \end{pmatrix}} = {\begin{pmatrix} p \\ q \end{pmatrix}} = {\begin{pmatrix} - 2 \\ 3 \end{pmatrix}}$ $\therefore$$p = - 2$, $q = 3$이므로 $p + q = 1$ [참고] 케일리-해밀턴 정리에 의하면 행렬 $\displaystyle A = {\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}}$에 대하여 등식 $A ^{2} - ( a + d ) A + ( ad - b c ) E = O$ 이 항상 성립한다. 따라서 $\displaystyle A = {\begin{pmatrix} - 2 & 3 \\ - 1 & 2 \end{pmatrix}}$에 대하여 다음과 같이 성립한다. $A ^{2} - ( - 2 + 2 ) A + \left\{ ( - 2 ) \times 2 - 3 \times ( - 1 ) \right\} E = O$ $A ^{2} - E = O$ $\therefore$$A ^{2} = E$