행렬 거듭제곱 방정식

행렬 $A$에 대하여 케일리 헤밀턴 정리를 적용하면 $A ^{2} + A + E = 0 , \therefore A ^{3} = E$ 또한 , $- A ( A + E ) = E$ 이므로 행렬 $A$의 역행렬은 $- ( A + E )$이다. 그리고, $A ^{11} = ( A ^{2} ) A ^{2} = A ^{2} = - ( A + E )$이므로 주어진 관계식을 정리하면 $\displaystyle A ^{1} \left( \begin{array}{l} \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{l} \begin{matrix} 18 \\ 13 \end{matrix} \end{array} \right)$$\displaystyle - ( A + E ) \left( \begin{array}{l} \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{l} \begin{matrix} 18 \\ 13 \end{matrix} \end{array} \right)$양 변에 $- ( A + E )$의 역행렬 $A$를 곱하면 $\displaystyle \therefore \left( \begin{array}{l} \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \end{array} \right) = A \left( \begin{array}{l} \begin{matrix} 18 \\ 13 \end{matrix} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ll} \begin{matrix} 1 & 3 \\ - 1 & - 2 \end{matrix} \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} \begin{matrix} 18 \\ 2 \end{matrix} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{l} \begin{matrix} 57 \\ - 44 \end{matrix} \end{array} \right)$ 따라서, $x + y = 57 - 44 = 13$