행렬 거듭제곱 방정식

행렬 $\displaystyle A = \left( \begin{array}{ll} \begin{matrix} a & b \\ b & - c \end{matrix} \end{array} \right)$에서 $a , b , c$가 양수이므로 $- ac - b ^{2} < 0$ 따라서 행렬 $A$의 역행렬이 항상 존재한다. $A ^{4} = 3 A ^{2}$에서 양변에 $( A ^{- 1} ) ^{2}$을 곱하면 $A ^{2} = 3 E$ ∴ $\displaystyle A ^{2} = \left( \begin{array}{ll} \begin{matrix} a & b \\ b & - c \end{matrix} \end{array} \right) \left( \begin{array}{ll} \begin{matrix} a & b \\ b & - c \end{matrix} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ll} \begin{matrix} a ^{2} + b ^{2} & ab - bc \\ ab - bc & b ^{2} + c ^{2} \end{matrix} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ll} \begin{matrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{matrix} \end{array} \right)$ ∴ $a ^{2} + 2 b ^{2} + c ^{2} = ( a ^{2} + b ^{2} ) + ( b ^{2} + c ^{2} )$$= 3 + 3 = 6$