공통수학1행렬과 그 연산수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

행렬 거듭제곱

문제

이차정사각행렬 AA가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) A3=EA ^{3} = E (나) A−EA - E의 역행렬이 존재한다.

행렬 (A−E)60( A - E ) ^{60}의 모든 성분의 합이 2a×3b2 ^{a} \times 3 ^{b}이다. a+ba + b의 값을 구하시오. (단, a,ba , b는 자연수이고, EE는 단위행렬이다.) [4점]

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해설

A3=EA ^{3} = E ⋯\cdots①, A3−E=OA ^{3} - E = O (A−E)(A2+A+E)=O( A - E ) ( A ^{2} + A + E ) = O 양변에 (A−E)−1( A - E ) ^{-1}을 곱하면 A2+A+E=OA ^{2} + A + E = O ⋯\cdots ② (A−E)2=A2−2A+E=−3A( A - E ) ^{2} = A ^{2} - 2 A + E = - 3 A (∵ ②) (A−E)4=(−3A)2=9A2( A - E ) ^{4} = ( - 3 A ) ^{2} = 9 A ^{2} (A−E)60={(A−E)4}15=(32A2)15( A - E ) ^{60} = \left\{ ( A - E ) ^{4} \right\} ^{15} = ( 3 ^{2} A ^{2} ) ^{15}=330⋅A30=330⋅(A3)10=330⋅E= 3 ^{30} \cdot A ^{30} = 3 ^{30} \cdot ( A ^{3} ) ^{10} = 3 ^{30} \cdot E 따라서, 성분합은 2⋅3302 \cdot 3 ^{30} a=1,b=30,a+b=31a = 1 , b = 30 , a + b = 31

태그

#행렬 거듭제곱#케일리-해밀턴

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