공통수학1행렬과 그 연산수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

행렬 거듭제곱

문제

영행렬이 아닌 이차정사각행렬 AA가 임의의 자연수 nn에 대하여 An+1=An+2+AnA ^{n + 1} = A ^{n + 2} + A ^{n}을 만족할 때, A2009A ^{2009}을 간단히 하면? [4점] ①−A3- A ^{3}②−A2- A ^{2}③AA④A2A ^{2}⑤A3A ^{3}

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②

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해설

[출제의도] 행렬의 거듭제곱 계산하기 An+2=An+1−AnA ^{n + 2} = A ^{n + 1} - A ^{n}에서 A3=A2−AA ^{3} = A ^{2} - A A4=A3−A2=(A2−A)−A2=−AA ^{4} = A ^{3} - A ^{2} = \left( A ^{2} - A \right) - A ^{2} = - A A5=A4−A3=−A−(A2−A)=−A2A ^{5} = A ^{4} - A ^{3} = - A - \left( A ^{2} - A \right) = - A ^{2} A6=A5−A4=−A2−(−A)=−A2+AA ^{6} = A ^{5} - A ^{4} = - A ^{2} - \left( - A \right) = - A ^{2} + A A7=A6−A5=−A2+A−(−A2)=AA ^{7} = A ^{6} - A ^{5} = - A ^{2} + A - \left( - A ^{2} \right) = A ∴\therefore A2009=(A7)287=A287=(A7)41=A41A ^{2009} = \left( A ^{7} \right) ^{287} = A ^{287} = \left( A ^{7} \right) ^{41} = A ^{41} =(A7)5A6=A5A6=A11=A7A4= \left( A ^{7} \right) ^{5} A ^{6} = A ^{5} A ^{6} = A ^{11} = A ^{7} A ^{4} =AA4=A5=−A2= AA ^{4} = A ^{5} = - A ^{2}

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