행렬 등식 보기

[출제의도] 역행렬의 연산에 관한 성질을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다. ㄱ. $AB + A + B = O$에서 $A ( B + E ) + B + E = E$ $( A + E ) ( B + E ) = E$ $\therefore ( A + E ) ^{- 1} = B + E$ 따라서 $A + E$의 역행렬은 존재한다. $\therefore$참 ㄴ. ㄱ에서 $( A + E ) ^{- 1} = B + E$이고 $A ^{3} = O$에서 $A ^{3} + E = E$ $( A + E ) ( A ^{2} - A + E ) = E$ $( A + E ) ^{- 1} = A ^{2} - A + E$ $B + E = A ^{2} - A + E$ $\therefore B = A ^{2} - A$ $\therefore$참 ㄷ. 행렬 $A$를 $\displaystyle A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$라 하면, $A ^{- 1}$이 존재하면 모순이다. $\therefore A ^{- 1}$이 존재하지 않으므로 $ad - bc = 0$이다. $\displaystyle A ^{2} = \begin{pmatrix} a ^{2} + bc & ab + bd \\ ac + cd & bc + d ^{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a ^{2} + ad & ab + bd \\ ac + cd & ad + d ^{2} \end{pmatrix}$ $\displaystyle = ( a + d ) \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ $= ( a + d ) A$ $\cdots$㉠ 가 성립한다. 따라서 $A ^{3} = ( a + d ) A ^{2} = ( a + d ) ^{2} A$ $A ^{3} = O$이므로 $a + d = 0$이거나 $A = O$이다. $a + d = 0$일 때 ㉠에서 $A ^{2} = O$이고 $A = O$일 때 $A ^{2} = O$이다. 따라서 $A ^{3} = O$이면 $A ^{2} = O$이다. $\therefore$참