행렬 방정식 해와 직선

[출제의도] 역행렬을 이용한 수학 내적 문제해결하기 $\displaystyle \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = k \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ 즉, $\displaystyle \begin{pmatrix} 4 - k & 2 \\ 1 & 3 - k \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$…㉠ 조건에 의해 $\displaystyle \begin{pmatrix} 4 - k & 2 \\ 1 & 3 - k \end{pmatrix}$의 역행렬의 존재하지 않으므로 $( 4 - k ) ( 3 - k ) - 2 = 0$ $k ^{2} - 7 k + 10 = 0$ ∴ $k = 2$또는 $k = 5$ (ⅰ) $k = 2$인 경우 ㉠은 직선 $x + y = 0$이므로 $\displaystyle y = \frac{1}{2} x - \frac{3}{2}$과 교점은 $( 1 , - 1 )$ (ⅱ) $k = 5$인 경우 ㉠은 직선 $x - 2 y = 0$이므로 $\displaystyle y = \frac{1}{2} x - \frac{3}{2}$과 교점은 존재하지 않는다. 따라서, 교점 $( \alpha , \beta ) = ( 1 , - 1 )$ ∴ $\alpha ^{2} + \beta ^{2} = 2$