대수등차수열과 등비수열수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

행과 열이 등차수열인 표

문제

다음 규칙에 따라 그림의 $i$ 행 $j$ 열의 ○안에 수 $a _{ij}$ 를 써 넣으려고 한다. (단, $i = 1 , 2 , 3 , \cdots$ , $j = 1 , 2 , 3 , \cdots$ )

(가) 2행 4열, 3행 2열의 ○안에 각각 $12$ , $8$ 을 써 넣는다. (나) 상수 $c$ 에 대하여 $a _{i1} , a _{i2} , a _{i3} , \cdots$ 은 공차가 $c \times i$ 인 등차수열이 되고, $a _{1j} , a _{2j} , a _{3j} , \cdots$ 은 공차가 $c \times j$ 인 등차수열이 되도록 써 넣는다.

1열 2열 3열 4열 5열 6열 1행 2행 3행 4행 5행 6행

이 때, $10$ 행 $10$ 열의 ○안에 써 넣을 수는? [4점] ① $196$ ② $197$ ③ $198$ ④ $199$ ⑤ $200$

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①

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해설

[출제의도] 계차수열을 이용하여 수열의 일반항을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다. $n$ 행 $n$ 열에 들어가는 수를 $b _{n}$ 이라 하면 $b _{1} + 7 c = 12 , b _{1} + 5 c = 8$ 에서 $b _{1} = - 2 , c = 2$ $b _{2} = b _{1} + 3 c$ $b _{3} = b _{2} + 5 c = b _{1} + ( 3 + 5 ) c$ $b _{4} = b _{3} + 7 c = b _{1} + ( 3 + 5 + 7 ) c$ $\vdots$ $b _{10} = b _{1} + ( 3 + 5 + 7 \cdots + 19 ) c$ $\displaystyle = - 2 + \frac{9 ( 3 + 19 )}{2} \times 2 = 196$

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