해 없음과 자명하지 않은 해

[출제의도] 행렬과 연립일차방정식의 관계 이해하기 $x$, $y$에 대한 연립방정식 $\displaystyle {\begin{pmatrix} 1 - k & 2 \\ 2 & 4 - k \end{pmatrix}} {\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}} = {\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix}}$의 해가 없으므로 행렬$\displaystyle {\begin{pmatrix} 1 - k & 2 \\ 2 & 4 - k \end{pmatrix}}$의 역행렬이 존재하지 않는다. $( 1 - k ) ( 4 - k ) - 4 = 0$, $k = 0$ 또는 $k = 5$ (ⅰ) $k = 0$ $\displaystyle {\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}} {\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}} = {\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix}}$의 해가 무수히 많다. (ⅱ) $k = 5$ $\displaystyle {\begin{pmatrix} - 4 & 2 \\ 2 & - 1 \end{pmatrix}} {\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}} = {\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix}}$의 해가 없다. 따라서 $k = 5$ $\displaystyle {\begin{pmatrix} 4 & a \\ a & 4 \end{pmatrix}} {\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}} = {\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}}$이 $x = 0 , y = 0$ 이외의 해를 가지므로 $a ^{2} - 16 = 0$ ($a > 0$) $\therefore$ $a = 4$