공통수학1행렬과 그 연산수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

규칙으로 정한 행렬열

문제

두 행렬 A1=(1234)\displaystyle A _{1} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}, P=(0110)\displaystyle P = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}에 대하여 행렬 An+1A _{n + 1}을 다음과 같이 정의한다. (단, nn은 자연수)

◦ 행렬 AnA _{n}의 (1,1)( 1 , 1 )성분이 (1,2)( 1 , 2 )성분보다 작으면 An+1=AnPA _{n + 1} = A _{n} P ◦ 행렬 AnA _{n}의 (1,1)( 1 , 1 )성분이 (1,2)( 1 , 2 )성분보다 작지 않으면 An+1=−PAnA _{n + 1} = - P A _{n}

이때, 행렬 A2005A _{2005}의 (2,1)( 2 , 1 )성분은? [4점] ①−4- 4②−2- 2③−1- 1④11⑤33

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⑤

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해설

A1=(1234)\displaystyle A _{1} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}, A2=(1234)(0110)=(2143)\displaystyle A _{2} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} A3=−(0110)(2143)=(−4−3−2−1)\displaystyle A _{3} = - \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} - 4 & - 3 \\ - 2 & - 1 \end{pmatrix} A4=(−4−3−2−1)(0110)=(−3−4−1−2)\displaystyle A _{4} = \begin{pmatrix} - 4 & - 3 \\ - 2 & - 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} - 3 & - 4 \\ - 1 & - 2 \end{pmatrix} A5=−(0110)(−3−4−1−2)=(1234)=A1\displaystyle A _{5} = - \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} - 3 & - 4 \\ - 1 & - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} = A _{1} 따라서 A6=A2A _{6} = A _{2}, A7=A3A _{7} = A _{3}, … , An+4=AnA _{n + 4} = A _{n} ∴ A2005=A4×501+1=A1=(1234)\displaystyle A _{2005} = A _{4 \times 501 + 1} = A _{1} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} 그러므로 A2005A _{2005}의 (2,1)( 2 , 1 )성분은 33이다.

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